天体望遠鏡を作り，光速度を測定したい

僕はセミリタイア後に，天体望遠鏡を自作したいと思っています．ガリレオが見た木星の衛星を自分の作った望遠鏡で見たいですね．そして，それで木星の衛星を精密に観測し，光速度を求めてみたいと考えています．レーマーが1676年ころに光の速度を求めた方法をたどってみるつもりです．

木製とその衛星
(https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jupiter-and-its-moons-bozanowski-20090902.jpg)

木星の衛星の周期を使った光速度の測定には面白い歴史があります．「光速の測定実験は航海図の作成がきっかけだった: 光と色と」に詳細が書かれています．ここでは，簡単に話をします．

レーマーが光速度を求めた，1600年代のヨーロッパは大航海時代です．正確な世界地図がとても重要でした．世界地図を作るためには，経度と緯度が正確に分からなくてはなりません．緯度は北極星を観測すれば測定可能です．経度が問題です．正確な時計があれば，経度は分かります．太陽が南中した時のロンドン時間が分かれば，ロンドンとの経度の差が分かります．当時は，航海に持って行っても狂わない正確な時計はありません．そこで，天空に目をつけた人がいました．木星の衛星は正確な周期で木星の周りを回っています．これを時計の代わりに使います．そのために，木星の周期の正確な測定が行われました．実際は食の時刻を測定します．測定の結果，おかしなことが判明しました．季節によって，食の周期がすこしずつ異なります．レーマーは光速度が原因と考え，光速度を計算しました．レーマーが求めた光速度は，2.1×108 m/s でした．人類が初めて求めた光速度で，結構正確です．

地上では，精度の良い時計の開発が進められました．特に功績のあったのがイギリスのジョン・ハリソンです．彼の功績については「ジョン・ハリソン（1693-1776） | THE SEIKO MUSEUM GINZA セイコーミュージアム 銀座」に，詳しい説明があります．ジョン・ハリソンは，1761年に81日間で誤差はわずか5.1秒の時計「マリンクロノメーター H-4」を完成させます．これで，経度の測定の問題が解決されました．と同時に，天上と地上の時計の争いにも終止符が打たれました．

国産 PET (Positron Emission Tomography) 一号機

 今年 (2021年) の 9 月に放射線医学総合研究所を訪問したとき、国産 PET (Positron Emission Tomography) 一号機を見る機会がありました．それが下の写真で建屋の隅のほうにひっそりと展示されています．

国産 PET 一号機

僕はこういう歴史的な装置を見ることが好きです．装置の上部には

国産ポジトロン CT 第1号

名称	POSITOLOGICA-I
設計	放医研物理研究部
製作	日立メディコ，日立製作所
設置	昭和54年 (1979年)

と簡単な説明があります．このポジトロンCTが，今で言う「PET」のことです．日本のPETの開発の歴史については「日本におけるポジトロン断層 (PET) 装置の研究開発のあゆみ」に詳しい説明があります．

1979年は，僕が高校に入った年です．この頃は日本はとても元気があった時期です．ちょうど，エズラ・ヴォーゲル著「ジャパン・アズ・ナンバーワン」が話題になった年でもあります．そんな中，研究者とエンジニアーは新しいものを作るという気概で，一生懸命にポジトロン CT を開発したと想像します．羨ましい時代です．今や，利益ばかり言われ，失敗もできない開発ばかりです．エンジニアーは疲弊し，研究者は何をしてよいか迷っているような感じです．皆が夢中になって開発できるような環境が欲しいですね．そういう環境を作ることが，私のようなシニアエンジニアーの仕事と思います．

カルマン渦の不思議と勘違い

カルマン渦とレイノルズ数

カルマン渦 (Karman vortex) は，流れのなかに障害物を置いたとき，その後方に交互にできる渦の列です．図1にそのアニメーションを示します．左から右に一様な流れがあり，その途中に円柱が置かれえいるモデルです．円柱の下流に特徴的な渦列ができています．

図1 円柱の後ろにできたカルマン渦． 円柱の両側の流れが異なる色で表示され、渦が交互になっています．作者: Cesareo de La Rosa Siqueira．Wikimedia Commons より．

このカルマン渦が生じる条件は，レイノルズ数で決まります．レイノルズ数 \(Re\) は \begin{align} Re=\frac{\rho v L}{\mu}=\frac{vL}{\nu} \end{align} です．ここで，\(\rho\) は流体の密度，\(v\) は流体の速度，\(L\) は特性長さ，\(\mu\) は流体の粘性係数，\(\nu\) は流体の動粘性係数です．流体の現象が慣性と粘性のみの場合，レイノルズ数が等しいと，流体の流れは相似になります．すなわち，スケールによらず同じ形 (相似) のな流れになります．これを「レイノルズの相似則」と言います．

カルマン渦が小さなスケールでも大きなスケールでも同じような渦が生じるのは，この相似則のなせる技です．カルマン渦が生じるのは範囲は，レイノルズ数 \(Re\) が 103 から 105 の範囲です．この範囲だと，スケールによらず相似なカルマン渦になります．

長年の勘違い

このカルマン渦は，レイノルズ数のみで決まるので室内の小さな流れ (数 cm) から自然界に発生する大きな流れでも起きます．例えば，図2は人工衛星から観測した MODIS の画像で，とても大きなカルマン渦が見えます．流れの始まりの左上の直径 11 km くらいの小さな島です．200 km くらい続くとても大きな流れです．

図2 トリスタンダクーニャ島沖のカルマン渦．NASAのテラ衛星による観測．画面全体は約 450 km × 270 km です．Wikimedia Commons より．

私の長年の勘違いは，この大きなカルマン渦のレイノルズ数も 103 から 105 の範囲と思っていました．この人工衛星の写真の流体の速度 \(v\) は1 m/s から 10 m/s 程度，\(L\) は島の直径で 11×103 m，動粘性係数 \(\nu\) は10-5 m2/s 程度です．したがって，レイノルズ数は 109 から 1010 と非常に大きな値になります．通常，これは乱流です．それにもかかわらず，カルマン渦が生じるのは何かもっと奥深いものがあるようです．私は流体の専門家ではないので，これ以上はわかりません．詳細は「Evolution of an Atmospheric Kármán Vortex Street From High-Resolution Satellite Winds: Guadalupe Island Case Study 」に書かれています．

流体の運動は不思議だ

気体や液体のように引きちぎられるものが，数百 km におよぶ規則的な模様ができることは驚きです．それとともに，その振動の周期が遅いことにも驚かせる．自然って，不思議です．

ハリソンの精密な時計 (クロノグラフ) の開発の物語

ハリソンの精密な時計 (クロノグラフ) の開発には，面白い物語があります．1 8 世紀初頭から中盤にかけてのことです．

時代背景

18 世紀の初頭は大航海時代が終わり，世界の隅々までがだんだんと分かり始めたころです．そのころから，イギリスは世界中に植民地の開拓を進めます．キャプテン・クックが世界中を探検したのが18世紀の中盤です．

図1は 17 世紀の終わり頃の 1689 年の世界地図です．大雑把に世界が表されていますが，安全に航海をするには精度が不足しています．特に，北アメリカの太平洋側北部の精度が悪いですね．このような精度の悪い地図で航海すると座礁や遭難の可能性があります．世界に出ていくために，精度の良い地図が求めらていました．精度の良い地図の作成には，経度と緯度の測定が重要になります．航海中の自分の位置を知るためにも，これらの測定が重要です．

1689年にアムステルダムで作成された地図

経度の測定

緯度の測定は比較的簡単です．北極星や太陽の南中する角度を測定すれば，緯度が分かります．それに対して，経度の測定には精度の良い時計が必要なります．遠く離れた場所で，グリニッジと同じ時を刻む時計があれば，経度の測定は容易です．太陽が南中する時刻 (グリニッジ時刻) を測れば，経度がわかります．別の方法で，経度を測ることができるかもしれませんが，精度の良い時計を使うのが最も簡単でしょう．

時計以外の経度の測定方法には，日食・月食を利用する方法や木星の衛星を利用する方法，月距法，偏角を利用した方法などがあります．これらについては，経度の歴史にかかれています．

経度法 (精密な経度測定に賞金)

1707年，イギリス海軍の4隻の船が地中海かからの帰路の本国近くのシリー諸島で座礁しました．これにより，2000人くらいの船員が亡くなりました．この座標の原因は，経度を正しく測定できなかったためです．この事故もあり，イギリス政府は 1714 年に経度法を制定しました．これは「船舶において現在地の経度を正確に決定するための簡単で実用的な方法に対して報奨金を与える」制度です．懸賞金は精度別に3ランクが設けられました (表1)．揺れる船舶で使える精度の良い時計の発明に対して，懸賞金を与えると言い換えても良いでしょう．

ランクCの場合の時計の許容誤差は 120 秒です．この誤差が許されるまでの日数が問題です．別の資料によると「経度法では西インド諸島までの航海で平均日差2秒以内でなければならない」とのことです．この場合，西インド諸島までの公開に必要な日数は，60日程度という見積もりです．実際にはもっと長い航海もあるので，時計の精度は更に厳しくなります．世界中どこに行っても，誤差は120秒以下ということですね．日差が1秒よりも十分良い時計が求められていることになります．

表1 イギリスの経度法の賞金と要求精度．

ランク	賞金 (現在価値)	要求精度
A	10,000 ポンド (2.0 億円)	経度:1度	(時間:240秒)
B	15,000 ポンド (3.0 億円)	経度:40分	(時間:160秒)
C	20,000 ポンド (4.0 億円)	経度:30分	(時間:120秒)

ジョン・ハリソンのマリーンクロノグラフ

ジョン・ハリソンも，この難題に挑んだ一人です．彼は 1693 年にイギリスのヨークシャー州で，木工・大工職人の息子として生まれました．出自は貴族ではありません．幼い頃，時計とその動きに魅了され，時計職人になりました．そして，精度の良い時計を作るために，独学で機械工学や物理学を学んだようです．

ジョン・ハリソン

ハリソンの最初のクロノグラフは H1 です．これは，1936 年にリスボンへの航海でテストされました．そのテストの結果はまずまずで，かなり期待ができるものだったようです．当時のお金で500ポンド (現在価値: 1,000万円) が支払われました．次のクロノグラフ H2 は二年以内に製作することになっていましたが，色々と問題があったようで，完成しませんでした．その次は H3 で，完成までに19年の歳月を要しました．

1751 年からは H4 の製作に取り掛かります．これが革命的な時計になります．これまでと形が大きく異なり，大きな懐中時計のようです．その直径は 13 cm です．H３までと比べ形が大きく変わったことから，時を刻む仕組みも大きく変わったと思われます(詳細不明)．1761年にポーツマスからジャマイカ島への航海実験に使われ，61日間の航海で45秒の遅れのみでした．一日あたり，0.74 秒の遅れです．経度法の要求精度を満たしました．また，キャプテンクックはこの時計 (マリンクロノメーター) H4  のコピーを持って，第二回と三回の航海を行いました．この H4 のおかげで，安全な航海ができたと思われます．

ハリソンは，1764年に更に精度の良い H5 を完成させます．これは，バルバドスへの5ヶ月間の航海で誤差15秒でした．一日あたりにすると，0.1 秒です．機械式時計では驚くべき精度です．その仕組にとても興味がありますが．ネットを探索しても，仕組みまで書いてあるサイトを見つけることができませんでした．

H1

H3

H4

ハリソンの時計は驚くべき精度ですが，それを検証するための時計もそれ以上の精度が求められます．私は検証に用いた時計にも大変興味があります．これもネットで調べましたが，それはわかりませんでした．「日時計でも使ったのかなー」とも思っています．日時計を使った場合，精度は良いでしょうが分解能が問題になります．「分解能が1秒程度の日時計が作れるのだろうか?」と，ますます疑問が膨らみます．

賞金と栄誉

ハリソンの H4 はとても素晴らしい結果を示しました．しかし，懸賞金に関しては，なかなか支払われなかったようです．この辺りは，Wikiwand: ジョン・ハリソン (時計職人) に詳しく書かれています．以下に引用します．

しかしグリニッジ天文台所長ネヴィル・マスケリンをはじめとする天文学者は天文学的方法による経度測定法にこだわっており、ドイツの天文学者ヨハン・マイヤーが作成した月の運行表による方法の方が「正しい測定法」だと主張してハリソンを中傷する報告書を提出し、また議会でもハリソンが庶民出身であることに嫌悪を表す者もおり、公正に評価されなかった。当初の条件になかった追加試験を要求され、1762年には往路5秒復路1分49秒の誤差、1764年にはジャマイカ往復の156日間で54秒の進み、と良好な結果を出したが、1763年に3000ポンドが支払われたのみで賞金全額は支払われなかった。

その後の H5 では完璧というほどの精度でも，全額支払われず半分の10,000 ポンドが支払われました．ハリソンの息子のウィリアム・ハリソンは，この現状を国王に訴えました．その時，国王ジョージ3世は「懸賞金は経度の正確な測定法を開発した者に授けられるもので、開発者の身分に対して授けられるものではない」と言ったとのこと．かっこいいし，誰でもが納得する言葉ですね．これにより，ハリソンは残りの賞金を受け取ることができました．

参考文献

1. ウィキペディア: 経度賞
2. ウィキペディア: 経度の歴史
3. Wikiwand: ジョン・ハリソン (時計職人)
4. 画像は Wikimedia commons からの引用

万有引力定数を測定したい

 仕事が一息ついて，少し時間的な余裕ができれば，自分で万有引力定数を測定したいですね．これはとても基本的な物理定数です．身近な例では，これが分かると地球の質量がわかります．キャベンディッシュが歴史上初めて万有引力定数を測定しました．下図は，そのときの実験装置です．ねじり秤の両端に小球 (0.73 kg/個) とそれに力を加える大球 (157.8 kg/個) からできています．

キャベンディッシュの実験装置 (wikimedia)

ひとつの大球の重さが 157 kg となると，個人ではなかなか製作が難しいですね．この質量だと，ひとりで操作はできないし，自宅にも置けないなー．どうしたもんかなーと悩んでいたら，なんと万有引力測定装置が売っているではないか．下の写真は (株ナリカの「万有引力実験器 UG」で，定価 35 万円 (税抜) です．大球の質量は 16 kg/個 なので，個人でも制作できそうです．

高校生にオイラーの公式

高校生にオイラーの公式を教えると，かなり興味を持つと思います．私が初めてオイラーの公式を見たのは大学一年生の時です．これを高校生の時に知ることができたら，別の世界が広がったかもしれません．

オイラーの公式は，

\begin{align} e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \end{align}

です．これを丸覚えしても仕方ないので，ある程度の証明らしきものを示す必要があります．例えば，テイラー展開(マクローリン展開)の式:

\begin{align} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots\\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\cdots\\ \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\cdots\\ \end{align}

を示します．そして，これらを微分をしたり\(x\)に適当な数値を代入すると，なんとなく左辺と右辺が等しいことが分かります．すると，元のオイラーの式が成り立つことが分かります．このテイラー展開の式も美しいので，それだけでも感動すると思います．私は大学に入って，この式を見たときには驚きましたね．高校生の時に見ると，もっと感動があったと思います．

オイラーの公式が成り立つと，三角関数に関するいくつかの便利な式を導くことができます．例えば，次のようにすると三角関数の加法定理が簡単に導くことができます．

\begin{align} \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &= e^{i(\alpha+\beta)}\nonumber\\ &=e^{i\alpha}e^{i\beta}\nonumber\\ &=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\nonumber\\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+\nonumber\\ &\qquad i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) \end{align}

これらの最初と最後の式の実部/虚部同士が等しいことから，

\begin{align} \cos(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta \end{align}

を導くことができます．三角関数の加法定理ですね．

このように，オイラーの公式を使うと三角関数の加法定理を簡単に導くことができます．それ以外に，様々な公式を導くことができます．たぶん，受験にも大変役に立つと思います．

レオンハルト・オイラー

台風の時に現れる不思議な雨雲の筋

台風のとき，関東の雨雲レーダーの図を見ると，不思議な二本の筋に気がつきます．下の図の中央右側の黒い点線で囲まれた部分です．

台風の時に現れる二本の筋

これはなんだろう?，と疑問に思っています．最初にこれを見たとき，筑波山の二つの山頂 (男体山，女体山) が原因とも思いましたが，どうも違っているようです．筋の始まりは取手から我孫子付近です．もうちょっと西の可能性もあります．不思議です．