カルマン渦の不思議と勘違い

カルマン渦とレイノルズ数

カルマン渦 (Karman vortex) は，流れのなかに障害物を置いたとき，その後方に交互にできる渦の列です．図1にそのアニメーションを示します．左から右に一様な流れがあり，その途中に円柱が置かれえいるモデルです．円柱の下流に特徴的な渦列ができています．

図1 円柱の後ろにできたカルマン渦． 円柱の両側の流れが異なる色で表示され、渦が交互になっています．作者: Cesareo de La Rosa Siqueira．Wikimedia Commons より．

このカルマン渦が生じる条件は，レイノルズ数で決まります．レイノルズ数 \(Re\) は \begin{align} Re=\frac{\rho v L}{\mu}=\frac{vL}{\nu} \end{align} です．ここで，\(\rho\) は流体の密度，\(v\) は流体の速度，\(L\) は特性長さ，\(\mu\) は流体の粘性係数，\(\nu\) は流体の動粘性係数です．流体の現象が慣性と粘性のみの場合，レイノルズ数が等しいと，流体の流れは相似になります．すなわち，スケールによらず同じ形 (相似) のな流れになります．これを「レイノルズの相似則」と言います．

カルマン渦が小さなスケールでも大きなスケールでも同じような渦が生じるのは，この相似則のなせる技です．カルマン渦が生じるのは範囲は，レイノルズ数 \(Re\) が 103 から 105 の範囲です．この範囲だと，スケールによらず相似なカルマン渦になります．

長年の勘違い

このカルマン渦は，レイノルズ数のみで決まるので室内の小さな流れ (数 cm) から自然界に発生する大きな流れでも起きます．例えば，図2は人工衛星から観測した MODIS の画像で，とても大きなカルマン渦が見えます．流れの始まりの左上の直径 11 km くらいの小さな島です．200 km くらい続くとても大きな流れです．

図2 トリスタンダクーニャ島沖のカルマン渦．NASAのテラ衛星による観測．画面全体は約 450 km × 270 km です．Wikimedia Commons より．

私の長年の勘違いは，この大きなカルマン渦のレイノルズ数も 103 から 105 の範囲と思っていました．この人工衛星の写真の流体の速度 \(v\) は1 m/s から 10 m/s 程度，\(L\) は島の直径で 11×103 m，動粘性係数 \(\nu\) は10-5 m2/s 程度です．したがって，レイノルズ数は 109 から 1010 と非常に大きな値になります．通常，これは乱流です．それにもかかわらず，カルマン渦が生じるのは何かもっと奥深いものがあるようです．私は流体の専門家ではないので，これ以上はわかりません．詳細は「Evolution of an Atmospheric Kármán Vortex Street From High-Resolution Satellite Winds: Guadalupe Island Case Study 」に書かれています．

流体の運動は不思議だ

気体や液体のように引きちぎられるものが，数百 km におよぶ規則的な模様ができることは驚きです．それとともに，その振動の周期が遅いことにも驚かせる．自然って，不思議です．