高校生にオイラーの公式

高校生にオイラーの公式を教えると，かなり興味を持つと思います．私が初めてオイラーの公式を見たのは大学一年生の時です．これを高校生の時に知ることができたら，別の世界が広がったかもしれません．

オイラーの公式は，

\begin{align} e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \end{align}

です．これを丸覚えしても仕方ないので，ある程度の証明らしきものを示す必要があります．例えば，テイラー展開(マクローリン展開)の式:

\begin{align} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots\\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\cdots\\ \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\cdots\\ \end{align}

を示します．そして，これらを微分をしたり\(x\)に適当な数値を代入すると，なんとなく左辺と右辺が等しいことが分かります．すると，元のオイラーの式が成り立つことが分かります．このテイラー展開の式も美しいので，それだけでも感動すると思います．私は大学に入って，この式を見たときには驚きましたね．高校生の時に見ると，もっと感動があったと思います．

オイラーの公式が成り立つと，三角関数に関するいくつかの便利な式を導くことができます．例えば，次のようにすると三角関数の加法定理が簡単に導くことができます．

\begin{align} \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &= e^{i(\alpha+\beta)}\nonumber\\ &=e^{i\alpha}e^{i\beta}\nonumber\\ &=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\nonumber\\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+\nonumber\\ &\qquad i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) \end{align}

これらの最初と最後の式の実部/虚部同士が等しいことから，

\begin{align} \cos(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta \end{align}

を導くことができます．三角関数の加法定理ですね．

このように，オイラーの公式を使うと三角関数の加法定理を簡単に導くことができます．それ以外に，様々な公式を導くことができます．たぶん，受験にも大変役に立つと思います．

レオンハルト・オイラー